Оптимальность оценки вероятности случайного события

Одной из важнейших проблем проектирования производственных систем является обеспечение их надежности. При этом имеется в виду не только техническая надежность технологического оборудования, но и влияние внешних и внутренних случайных факторов, приводящих к сбоям производственного процесса.

В большинстве работ, связанных с исследованием закономерностей случайных процессов в производственных и других технических системах, применяется известная аксиоматика. Соответствующий ей аналитический аппарат позволяет решать задачи оценки вероятности выполнения производственных заданий (например, суточного графика выплавки стали или месячного плана производства).

Известная формула оценки вероятности некоторого случайного события, определяющая указанную вероятность как отношение числа удачных опытов к числу всех опытов, обычно принимается в качестве аксиомы. Нет сомнения, что данная аксиома справедлива, поскольку она всегда подтверждается опытным путем. Однако интересно получить это подтверждение аналитическим путем.

В данной работе приведен аналитический вывод указанной формулы.

В соответствии с частотной аксиоматикой теории вероятностей оценка вероятности некоторого события p определяется отношением числа реализаций этого события у в серии из n независимых испытаний к числу этих испытаний.

Величина у имеет биноминальное распределение, которое при достаточно большом n по теореме Лапласа стремится к нормальному с теми же параметрами. Практически нормальным законом можно пользоваться уже при n > 15.

Запишем модель оценки p как относительную частоту, то есть отношение у к n.

Поскольку p есть линейная функция у, то закон распределения p также асимптотически нормальный. Числовые характеристики распределения p вычисляются по известным формулам для линейных функций случайных величин. Возникают вопросы: оптимальна ли оценка p ? Чтобы ответить на этот вопрос, сформулирована оптимизационная задача, для решения которой использован метод множителей Лагранжа. Решение этой задачи показало, что используемые аксиоматические значения множителей 1/n являются оптимальными в смысле минимума дисперсии оценки вероятности случайного события.

1. Ананьев Б.И. Оптимизация оценивания статистики неопределенной системы // Автоматика и телемеханика. 2018. № 1. С. 18-32.

2. Ефросинин Д.В., Фархадов М.П., Степанова Н.В. Исследование управляемой системы массового обслуживания с ненадежными неоднородными приборами // Автоматика и телемеханика. 2018. № 2. С.80-105.

3. Наумов В.А., Самуйлов К.Е. Анализ сетей ресурсных систем массового обслуживания // Автоматика и телемеханика. 2018. № 5. С. 59-68.

4. Кан Ю.С., Соболь В.Р. Асимптотический доверительный интервал для условной вероятности принятия решений // Автоматика и телемеханика. 2017. № 10. С. 130-138.

5. Гамкрелидзе Н.Г. Об одном свойстве симме-тризованных распределений // Теория вероятн. и ее примен. 2017. Т. 62. № 1. С. 68-71. DOI: 10.4213/tvp5100

6. Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2005. 160 с.

7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М.: Издательский центр «Академия», 2003. 448 с.

8. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. 400 с.

9. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Поспелов А.С. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. М.: Физматлит, 2004. 432 с.

10. ГмурманВ.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2004. 404 с.

11. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2009. 478 с.

12. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. 447 с.

13. Кибзун А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами . М.: Физматлит, 2002. 224 с.

14. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. М.: Физматлит, 2007. 231 с.

15. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. 573 с.

16. Максимов Ю.Д. Вероятностные разделы математики. СПб: Иван Федоров, 2001.592 с.

17. Горяинов В.Б., Павлов И.В., Цветкова Г.М., Тескин О.И. Математическая статистика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.424 с.

18. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. М.: Айрис-пресс, 2008. 288 с.

19. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Физматлит, 2002. 496 с.

20. Сидняев Н.И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных. М.: Юрайт, 2012. 399 с.

21. Печинкин А.В., Тескин О.И., Цветкова Г.М. и др.Теория вероятностей. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 456 с.

22. Информатика / под ред. проф. Н.В. Макаровой. СПб: Питер, 2010. 768 с.

23. Втюрин В.А. Компьютерные технологии в области автоматизации и управления. СПб: СПбГЛТУ, 2011. 103 с.

24. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 333 с.

25. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: учебник для студентов математических специальностей университетов. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. 447 с.